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你稀罕数学里的“果然常数e”吗? 望数学大神欧拉是如何解决的!

发布日期:2022-05-12 11:25    点击次数:154


在数学方圆,有许众比较兴趣的常数,这些常数的来历鄙俚都始末过一场汹涌澎湃的数学进化史。比如俺们之前说过的圆周率π,这个数比较常见,幼学阶段就能遇到。

今朝天俺们将要科普的是果然常数e,这个常数特为紧急,它和π雷同,是一个无尽且不循环的幼批。俺们起码要在高中阶段接触到对数函数后,才会初步接触到这个数,而想要十足知道这个数,则起码要到大学学习高数阶段。

果然常数e反复出此刻数学和物理学计算中,那么这么紧急且微妙的一个数,它实情是怎么来的,又有什么详明的现实意义呢?

在十八世纪初的时候,有一位数学大神,名叫欧拉。这位专家答该都不结巴,在幼编内心,他绝对是人类历史上最严害的5位数学家之一。果然常数e就是这位数学大师在解决复利题目时所挑出的,于是e也被称为欧拉数。

在欧拉之前,有一位严害的数学家雅各布·伯努利,他挑出了一个他自身也无法解决的题目,这是一个关于银动复利的题目,也许意思是:

伪设你在银动存了1元钱,伪设年利率是100%,不考虑其他扣费,一年后你将得到:

1*(1+100%)=2元

伪设半年结算一次利休,利率为之前的一半,不考虑其他扣费,一年后你将得到:

1*(1+50%)^2=2.25元

伪设每个月结算一次利休,利率为1/12,不考虑其他扣费,一年后你将得到:

1*(1+1/12)^12=2.61元

伪设每周结算一次利休,一年52周,利率为1/52,不考虑其他扣费,一年后你将得到:

1*(1+1/52)^52=2.69元

顺从这个规律,伪设俺们将一年分为n个平均的时间段,那么n就是利休复利的次数,每权且间段的利休则为1/n,那么一年后的收入就是:

1*(1+1/n)^n

这时候兴趣的题目暴露了,复利的次数n如果变得无尽大,那么收入是不是会变得无尽大呢。这就是雅各布·伯努利所挑出的题目,他试图回答,却无法给出一个实在的表明。

直到半个世纪后,欧拉大神横空出世,这个题目才真实得到知道答。结论是:当n趋近于无尽大的时候,(1+1/n)^n并不是趋近于无尽大,而是等于这么一个常数2.71828···,这是一个无尽且不循环的幼批,和圆周率雷同,都是无理数。后来为了方便记录,就用字母e来外示了。

这个e就是专家此刻已经风气且常用的果然常数了,e并不是一个敷衍的数字,当数学越学越深,你缓缓会发现它是数学里最有用的数字之一。

当俺们利用图像法绘制y=e^x的函数图像时,就会发现,对于这条函数弯线上的恣意一点,其斜率也是e^x,也就是说,y=e^x的导数就是它本身。

不只如许,这个函数图象与X轴围成的面积,也是e^x,在y=n^x这个函数里,只有当n=e的时候,这个方程才有如许微妙的性质。从这些例子里,俺们不貌寝出,在微积分方圆里,果然常数e千真万确是一个紧急且微妙的数字。

不只如许,在物理学方圆,果然常数e的利用也相称遍及,它平日出此刻正态分布或者与波关联的公式里,比如电磁波,声波,量子波等。

除了以上实例,关于果然常数e还有一个特为知名的方程,那就是欧拉方程,也叫欧拉恒等式:e^(iπ)+1=0。

这个公式不妨说是自数学结尾发展以来,暴露过的最俏丽的公式。这个公式同时将数学中最紧急的几个数字痛快地联系首来了。

e=2.718128182…果然对数,代外了大果然的柔美。

π=3.1415926535…圆周率,代外了时空的无尽。

i=√-1,虚数单位,代外了人类的想象。

1,数字一,代外了宇宙首点。

0,数字零,代外了宇宙止境。

乘法代外结相符,指数代外增成,增法代外累计,等号代外同一,这些数字在概念上望首来十足不搭边,但是却存在着如许美妙的数学关联。

如果说科学变化世界,那么数学就是变化科学的,数学是全部果然科学的基础。每一个深入研讨数学的人都无不为数学的魅力而出神。

与其他学科相比,数学却很不友益,由于数学不妨是人类创造出来的,特为是罕有的几乎十足仰仗天资的学科。勤能补拙,天道酬勤在这门学科上十足不管用,只有独一无二的天资再配上竭力,才能在专科数学方圆幼有创立。




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